Question

已知向量

a

，

b

的夹角为60°，且|

a

|=1，|2

a

-

b

|=2

3

．
（1）求|

b

|；
（2）求

b

与2

a

-

b

的夹角．

Answer 1

分析：（1）将“2

a

-

b

”两边平方，再把条件代入化简得到关于|

b

|方程，进行求解即可；
（2）根据数量积运算把条件和（1）的结果代入

b

•(2

a

-

b

)求值，再求出|

b

||2

a

-

b

|的值，进而表示所要求的向量夹角的余弦值，再求出夹角的值．

解答：解：（1）将|2

a

-

b

|=2

3

两边平方得，4

a

2+

b

2-4|

a

||

b

|cos＜

a

，

b

＞=12，
即

b

2-2|

b

|-8=0，解得|

b

|=4．                                     
（2）∵

b

•(2

a

-

b

)=2

a

•

b

-

b

2=2×1×4×

1

2

-16=-12，
又|

b

||2

a

-

b

|=4×2

3

=8

3

，
则

b

与2

a

-

b

夹角的余弦值为：

b •(2 a - b )

| b ||2 a - b |

=-

-12

8 3

=-

3

2

，
故所求的夹角为150°．

点评：本题考查了利用向量的数量积，求向量的模和夹角综合问题，属于中档题．