已知点的序列(.0).n∈N*.其中＝0.＝a(a＞0).是线段的中点.是线段的中点.--.是线段的中点-- (Ⅰ)写出与.之间的关系式(n≥3), (Ⅱ)设.计算...由此推测数列{}的通项公式.并加以证明, (Ⅲ)求．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知点的序列

（

，0），n∈N*，其中

＝0，

＝a（a＞0），

是线段

的中点，

是线段

的中点，……，

是线段

的中点……

（Ⅰ）写出与，之间的关系式（n≥3）；

（Ⅱ）设，计算，，，由此推测数列{}的通项公式，并加以证明；

（Ⅲ）求．

答案：
解析：

（Ⅰ）解：当

时，

（Ⅱ）．，

　　，

　　由此推测

　　证法一：因为，且

所以

　　证法二：用数学归纳法证明：

　（Ⅰ）当时，，公式成立；

　（Ⅱ）假设当时，公式成立，即成立．

　　那么当时，

　　公式仍成立．

根据（Ⅰ）和（Ⅱ）可知，

对任意，公式成立

（Ⅲ）解：当时，

有

　　由（Ⅱ）知是公比为的等比数列，所以．

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（Ⅰ）写出x_n与x_n-1、x_x-2之间的关系式（n≥3）；
（Ⅱ）设a_n=x_n+1-x_n，计算a₁，a₂，a₃，由此推测数列{a_n}的通项公式，并加以证明；
（Ⅲ）求

lim

n→∞

xn．

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已知点的序列（，0），n∈N*，其中＝0，＝a（a＞0），是线段的中点，是线段的中点，……，是线段的中点……