Question

17．已知二次函数f（x）=ax²+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（x-1）=f（3-x）且方程f（x）=2x有两个相等实数根
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[4m，4n]，如果存在，求出符合条件的所有m，n的值，如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由方程ax²+bx-2x=0有等根，则△=0，得b，又由f（x-1）=f（3-x）知此函数图象的对称轴方程为x=-$\frac{b}{2a}$=1，得a，从而求得f（x）．
（Ⅱ）由f（x）=-（x-1）²+1≤1，知4n≤1，即n≤$\frac{1}{4}$．由对称轴为x=1，知当n≤$\frac{1}{4}$时，f（x）在[m，n]上为增函数，得到关于m，n的方程组，最后看是否满足m＜n≤$\frac{1}{4}$即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（-x+3）=f（x-1），
∴对称轴是x=1，
得到-$\frac{b}{2a}$=1 ①
∵方程f（x）=2x有两个相等的实数根，
即ax²+（b-2）x=0有两个相等的实数根，
∴△=（b-2）²=0，∴b=2，代入①，
解得a=-1，
∴f（x）=-x²+2x；
（Ⅱ）∵f（x）=-（x-1）²+1≤1，
∴4n≤1，即n≤$\frac{1}{4}$，
而抛物线y=-x²+2x的对称轴为x=1，
∴当n≤$\frac{1}{4}$时，f（x）在[m，n]上为增函数．
若满足题设条件的m，n存在，
则 $\left\{\begin{array}{l}{f（m）=4m}\\{f（n）=4n}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{{-m}^{2}+2m=4m}\\{{-n}^{2}+2n=4n}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{m=0或m=-2}\\{n=0或n=-2}\end{array}\right.$又m＜n≤$\frac{1}{4}$．
∴m=-2，n=0，这时，定义域为[-2，0]，值域为[-8，0]．
由以上知满足条件的m，n存在，m=-2，n=0．

点评 本题主要考查函数与方程的综合运用，还考查了二次函数解析式的常用解法及分类讨论，转化思想．