Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB=BC=AA₁，且AC=BC，点D是AB的中点．
（1）证明：AC₁∥平面B₁CD；
（2）证明：平面ABC₁⊥平面B₁CD．

Answer 1

证明：（I）设BC₁与B₁C相较于点E，连接DE．
由题意可得D、E分别是AB、BC₁的中点．
∴DE∥AC₁．
DE?平面B₁CD，A₁C?平面B₁CD．
∴A₁C∥平面B₁CD．
（II）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=AA₁=BB₁=CC₁，
∴四边形BCC₁B₁是菱形，
∴B₁C⊥BC₁．
由AA₁⊥平面ABC，AA₁∥BB₁，∴BB₁⊥平面ABC．
∵AB?平面ABC．
∴BB₁⊥AB，
又∵AB=BC，且，
∴AB⊥BC．而AB⊥平面BCC₁B₁，
∴AB⊥B₁C，
又AB∩BC₁=B，∴B₁C⊥平面ABC₁．
而B₁C?平面B₁CD，∴平面ABC₁⊥平面B₁CD．
分析：（I））设BC₁与B₁C相较于点E，连接DE．由三角形的中位线定理可得DE∥AC₁．利用线面平行的判定定理即可证明；
（II）由菱形的性质可得B₁C⊥BC₁，由线面垂直的判定和性质定理可得AB⊥B₁C，于是得到B₁C⊥平面ABC₁．再利用面面垂直的判定定理即可得到面面垂直．
点评：熟练掌握三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、菱形的性质、线面垂直的判定和性质定理、面面垂直的判定定理是解题的关键．本题主要考查空间点线面的位置关系，考查空间想象能力、逻辑推理能力．