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    若Sn=
    1
    2
    +
    2
    3
    +
    1
    22
    +
    2
    32
    +…+
    1
    2n
    +
    2
    3n
    ，则
    lim
    n→∞
    Sn    =
    2
    2
    ．
    分析：由Sn=
    1
    2
    +
    2
    3
    +
    1
    22
    +
    2
    32
    +…+
    1
    2n
    +
    2
    3n
    =(
    1
    2
    +
    1
    22
    +…+
    1
    2n
    )+…+2(
    1
    3
    +
    1
    32
    +••+
    1
    3n
    ) ))    ，利用等比数列的求和公式可求
    解答：解：∵Sn=
    1
    2
    +
    2
    3
    +
    1
    22
    +
    2
    32
    +…+
    1
    2n
    +
    2
    3n

    =(
    1
    2
    +
    1
    22
    +…+
    1
    2n
    )+…+2(
    1
    3
    +
    1
    32
    +••+
    1
    3n
    ) ))
    =
    1
    2
    [1-(
    1
    2
    )    n    ]
    1-
    1
    2
    +2•
    1
    3
    [1-(
    1
    3
    )    n    ]
    1-
    1
    3

    =2-(
    1
    2
    )    n    -(
    1
    3
    )    n
    则
    lim
    n→∞
    Sn    =
    lim
    n→∞
    (2-
    1
    2n
    -
    1
    3n
    )=2
    故答案为：2
    点评：本题主要考查了分组求和及等比数列的求和公式的应用，数列极限的求解，属于公式的综合应用．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    1
    2
    +log2
    x
    1-x
    ．
    （Ⅰ）求证：f（x）的图象关于点(
    1
    2
    ，
    1
    2
    )    成中心对称；
    （Ⅱ）若Sn=f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )(n∈N*，且n≥2)，求Sn    ；
    （Ⅲ）已知a1=
    2
    3
    ，an=
    1
    (Sn+1)(Sn+1+1)
    (n≥2，n∈N*)    ，数列{an}的前n项和为Tn．若Tn＜λ（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，求λ的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=
    1
    2
    +log2
    x
    1-x
    图象上任意两点，且
    OM
    =
    1
    2
    (
    OA
    +
    OB
    )    ，已知点M的横坐标为
    1
    2
    ．
    （1）求点M的纵坐标；
    （2）若Sn=f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )    ，其中n∈N*且n≥2，
    ①求Sn；
    ②已知an=
    2
    3
    ，n=1
    1
    (Sn+1)(Sn+1+1)
    ，n≥2
    ，其中n∈N*，Tn为数列{an}的前n项和，若Tn≤λ（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求λ的最小正整数值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f(x)=
    1
    2
    +log2
    x
    1-x
    图象上的任意两点，点M(
    1
    2
    ，y0)    为线段AB的中点．
    （1）求：y0的值．
    （2）若Sn=f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-2
    n
    )+f(
    n-1
    n
    )，  (n≥2，且n∈N*)    ，求：Sn．
    （3）在 （2）的条件下，已知an=
    2
    3
                         (n=1) 
    1
    (Sn+1)(Sn+1+1)
     (n≥2)
    ，记Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＜λ（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，求：λ的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    若Sn=
    1
    2
    +
    2
    3
    +
    1
    22
    +
    2
    32
    +…+
    1
    2n
    +
    2
    3n
    ，则
    lim
    n→∞
    Sn    =______．

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