Question

已知函数f（x）=x²﹣1，g（x）=a|x﹣1|．
（1）若关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解，求实数a的取值范围；
（2）若当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）求函数h（x）=|f（x）|+g（x）在区间[﹣2，2]上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）．

Answer 1

解答：解：（1）方程|f（x）|=g（x），即|x²﹣1|=a|x﹣1|，
变形得|x﹣1|（|x+1|﹣a）=0，
显然，x=1已是该方程的根，
从而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a，
有且仅有一个等于1的解或无解，
结合图形得a＜0．
（2）不等式f（x）≥g（x）对x∈R恒成立，即（x²﹣1）≥a|x﹣1|（*）对x∈R恒成立，
①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；
②当x≠1时，（*）可变形为，令
因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞﹣2，
所以φ（x）＞﹣2，故此时a≤﹣2．
综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤﹣2．
（3）因为h（x）=|f（x）|+g（x）=|x²﹣1|+a|x﹣1|=
 当时，结合图形可知h（x）在[﹣2，1]上递减，在[1，2]上递增，
且h（﹣2）=3a+3，h（2）=a+3，
经比较，此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为3a+3．
当时，
结合图形可知h（x）在[﹣2，﹣1]，上递减，
在，[1，2]上递增，且h（﹣2）=3a+3，h（2）=a+3，，
经比较，知此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为3a+3．
当时，
结合图形可知h（x）在[﹣2，﹣1]14，15上递减， 在，[1，2]上递增，且h（﹣2）=3a+3，h（2）=a+3，，
经比较，知此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为a+3．
当时，
结合图形可知h（x）在，上递减， 在，上递增，
且h（﹣2）=3a+3＜0，h（2）=a+3≥0，
经比较，知此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为a+3．
当时，结合图形可知h（x）在[﹣2，1]上递减，在[1，2]上递增，
故此时h（x）在[﹣2，2]上的最大值为h（1）=0．
综上所述，当a≥0时，h（x）在[﹣2，2]上的最大值为3a+3；
当﹣3≤a＜0时，h（x）在[﹣2，2]上的最大值为a+3；
当a＜﹣3时，h（x）在[﹣2，2]上的最大值为0．