Question

5．已知△ABC是锐角三角形，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，满足${sin}^{2}A=sin（\frac{π}{3}+B）sin（\frac{π}{3}-B）+{sin}^{2}$B．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=12，a=2$\sqrt{7}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用条件以及三角恒等变换求得sinA的值，可得A的值．
（Ⅱ）由条件求得bc的值，再利用余弦定理求得b+c的值，可得，△ABC的周长．

解答 解：（Ⅰ）△ABC是锐角三角形，${sin}^{2}A=（sin\frac{π}{3}cosB+cos\frac{π}{3}sinB）（sin\frac{π}{3}cosB-cos\frac{π}{3}sinB）+{sin}^{2}B$ 
=$\frac{3}{4}{cos^2}B-\frac{1}{4}{sin^2}B+{sin^2}B=\frac{3}{4}$，
∴$sinA=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
又A为锐角，所以$A=\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）由$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=12$，得bccosA=12    ①，
由（1）知$A=\frac{π}{3}$，所以bc=24   ②，
由余弦定理知a²=b²+c²-2bccosA，将$a=2\sqrt{7}$及①代入可得c²+b²=52 ③，
③+②×2，得（c+b）²=100，所以c+b=10，△ABC的周长是$10+2\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，两个向量的数量积的运算，余弦定理的应用，属于中档题．