Question

数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和,对于任意n∈N^*,总有a_n,S_n,a_n²成等差数列.

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)设数列{b_n}的前n项和为T_n,且b_n=,求证：

对任意实数x∈(1,e］(e是常数,e=2.718 28…)和任意正整数n,总有T_n＜2；

(3)正数数列{c_n}中,a_n+1=(c_n)ⁿ⁺¹(n∈N^*),求数列{c_n}中的最大项.

Answer 1

(1)解：由已知：对于n∈N^*,

总有2S_n=a_n+a_n²  ①成立,

∴2S_n-1=a_n-1+a_n-1²(n≥2).  ②

①-②,得2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²,

∴a_n+a _n-1=(a_n+a _n-1)(a_n-a _n-1).

∵a_n,a _n-1均为正数,

∴a_n-a _n-1=1(n≥2).

∴数列{a_n}是公差为1的等差数列.

又n=1时,2S₁=a₁+a₁²,解得a₁=1.

∴a_n=n(n∈N^*).

(2)证明：∵对任意实数x∈(1,e］和任意正整数n,总有b_n=≤,

∴T_n≤++…+＜1+++…+

=1+1-++…+=2＜2.

(3)解：由a_n+1=(c_n)ⁿ⁺¹知lnc_n=,

令f(x)=,则f′(x)==.

∵当x≥2时,ln(x+1)＞1,则1-ln(x+1)＜0,即f′(x)＜0,

∴在［2,+∞)内f(x)为单调递减函数.

∴n≥2时,{lnc_n}是递减数列,即{c_n}是递减数列.

c₁==,c₂==,得c₁＜c₂.

∴数列{c_n}中的最大项为c₂=.