Question

在△ABC中，已知（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B），判断△ABC的形状．

Answer 1

解：在△ABC中，由正弦定理可知==k，则a=ksinA，b=ksinB，
代入（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B），并把k约分可得
（sin²A+sin²B）sin（A-B）=（sin²A-sin²B）sin（A+B），
sin²Asin（A-B）+sin²Bsin（A-B）=sin²Asin（A+B）-sin²Bsin（A+B），
sin²A[sin（A+B）-sin（A-B）]=sin²B[sin（A-B）+sin（A+B）]，
利用和角公式，整理有 sin²A2cosAsinB=sin²B•2sinAcosB，
即sin²A2cosAsinB-sin²B2sinAcosB=0，即 sinAsinB（2sinAcosA-2sinBcosB）=0，
即 sinAsinB（sin2A-sin2B）=0．
又 sinA＞0，sinB＞0，
所以sin2A=sin2B，2A=2B 或2A+2B=180度，故 A=B或A+B=90度，
所以，△ABC是等腰三角形或直角三角形．
分析：先利用正弦定理求得a=ksinA，b=ksinB代入题设等式中得（sin²A+sin²B）sin（A-B）=（sin²A-sin²B）sin（A+B），
利用两角和公式化简整理，求得sinAsinB（sin2A-sin2B）=0，根据sinA＞0，sinB＞0求得sin2A=sin2B，进而求得A=B，
或A+B=，最后答案可得．
点评：本题主要考查了两角和公式，正弦定理的应用，解题的关键是熟练掌握这些公式及变形，属于中档题．