Question

已知函数f（x）=x²+ax+1-a，若x∈[-1，2]时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：利用二次函数的图象和性质，分类求函数在区间[-1，2]的最小值，根据不等式f（x）≥0恒成立，求出实数a的取值范围．

解答：解：函数f（x）=x²+ax+1-a的图象开口向上，对称轴方程为x=-

a

2

，
当-

a

2

＜-1即a＞2时，f（x）在[-1，2]上单调递增，∴f（-1）=2-2a≥0⇒a≤1，∴a∈∅；
当-1≤-

a

2

≤2即-4≤a≤2时，f（x）在[-1，-

a

2

]上单调递减，在[-

a

2

，2]上单调递增，
∴有f（-

a

2

）=-

1

4

a²-a+1≥0⇒-2

2

-2≤a≤2

2

-2，
∴此时-4≤a≤2

2

-2；
当-

a

2

＞2即a＜-4时，f（x）在[-1，2]上单调递减，
∴有f（2）=5+a≥0⇒-5≤a＜-4；
综上得实数a的取值范围是-5≤a≤2

2

-2．

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，要注意分别讨论对称轴和区间之间的关系从而确定函数的最小值，体现了分类讨论思想．