Question

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=-x²+2x．
（1）当x∈R时，求函数f（x）的表达式；
（2）求解不等式f（x）≤|x|．

Answer 1

分析：（1）设x＜0，变形得到-x＞0，根据x＞0时的解析式，结合函数的奇偶性，可求得x＜0时的函数解析式，然后运用奇函数的定义，可求得f（0）=0，即可求得函数在整个定义域上的解析式；
（2）对x进行分段讨论，分别得到关于x的不等式，求解不等式的解集，最后取并集，即可求得不等式f（x）≤|x|的解集．

解答：解：（1）设x＜0，则-x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=-x²+2x，
∴f（-x）=-（-x）²+2（-x）=-x²-2x，
又f（x）是定义在R上的奇函数，则f（-x）=-f（x）且f（0）=0，
∴f（x）=-f（-x）=x²+2x，
∴当x＜0时，f（x）=x²+2x，
故当x∈R时，求函数f（x）的表达式为f(x)=

-x2+2x， x＞0 0， x=0 x2+2x，x＞0

；
（2）∵不等式f（x）≤|x|，
①当x＞0时，f（x）=-x²+2x，|x|=x，
∴不等式f（x）≤|x|，转化为-x²+2x≤x，解得x≤0或x≥1，
∴x≥1；
②当x=0时，0≤0，
∴x=0；
③当x＜0时，f（x）=x²+2x，|x|=-x，
∴不等式f（x）≤|x|，转化为x²+2x≤-x，解得-3≤x≤0，
∴-3≤x＜0．
综合①②③，可得-3≤x≤0或x≥1，
故不等式f（x）≤|x|的解集为{x|-3≤x≤0或x≥1}．

点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，分段函数的解析式要分段去求，求解函数在某个区间内的解析式，可先在求解的区间内设出变量x，然后通过变形把变量转化到已知解析式的区间内，再运用函数的奇偶性和周期性进行求解．本题还考查了解分段函数的不等式以及含有绝对值的不等式．属于中档题．