Question

已知抛物线和．如果直线同时是和的切线，称l是和的公切线，公切线上两个切点之间的线段称为公切线段．

(1)a取什么值时，和有且仅有一条公切线?写出公切线方程；

(2)若和有两条公切线，证明相应的两条切线互相平分．

(2003·天津)

Answer 1

答案：略
解析：

答案：(1)函数的导数为，曲线在点的切线方程是 函数的导数为，曲线在点的切线方程是 如果直线l是过点P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程．所以消去得方程． 若判别式Δ=4－4×2(1＋a)=0时．即时，解得，此时P与Q重合，即当时，和有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为． (2)证明：由(1)知，当时，和有两条公切线，设一条公切线上的切点为，，其中P在上，Q在上，则有． ， 线段PQ的中点坐标为． 同理，另一条公切线段的中点坐标也是， 所以公切线段PQ和互相平分．

提示：

解析：(1)分别求出抛物线和的切线方程、，由和有且仅有一条公切线知、重合，可求出a的值．(2)若两条公切线互相平分，则两公切线段的中点重合，问题转化为求两公切线段中点的坐标．