(本小题满分18分)已知数列{an}、{bn}、{cn}的通项公式满足bn=an+1-an,cn=bn+1-bn(n∈N*?),若数列{bn}是一个非零常数列,则称数列{an}是一阶等差数列;若数列{cn}是一个非零常数列,则称数列{an}是二阶等差数列?(1)试写出满足条件a1=1,b1=1,cn=1(n∈N*?)的二阶等差数列{an}的前五项;(2)求满足条件(1)的二阶等差数列{an}的通项公式an;(3)若数列{an}首项a1=2,且满足cn-bn+1+3an=-2n+1(n∈N*?),求数列{an}的通项公式
(1)a1=1,a2=2,a3=4,a4=7,a5=11(2)an=(n2-n+2)/2 (3)an=4n-2n
(1)a1=1,a2=2,a3=4,a4=7,a5=11-----4分
(2)依题意bn+1-bn=cn=1,n=1,2,3,…
所以bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(bn-2-bn-3)+…+(b2-b1)+b1=1+1+1+…+1=n ---6分
又an+1-an=bn=n,n=1,2,3,…所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1
=(n-1)+(n-2)+…+2+1+1=n(n-1)/2+1=(n2-n+2)/2 --10分
(3)由已知cn-bn+1+3an= -2n+1,可得bn+1-bn-bn+1+3an=-2n+1,即bn-3an=2n+1,∴an+1=4an+2n+1. -12分
解法一:整理得:an+1+2n+1=4(an+2n),-------15分
因而数列{an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,
∴an+2n=4·4n-1=4n,即an=4n-2n.(18分)
解法二:在等式an+1=4an+2n+1两边同时除以2n+1得:an+1/2n+1=2·an/2n+1.----15分
令kn=an/2n,则kn+1=2kn+1,即kn+1+1=2(kn+1)
故数列{kn+1}是首项为2,公比为2的等比数列所以kn+1=2·2n-1=2n,即kn=2n-1.
∴an=2nkn=2n(2n-1)=4n-2n. -------18分
解法三:∵a1=2,∴a2=12=22×(22-1),a3=56=23×(23-1),a4=32=24×(24-1)
猜想:an=2n(2n-1)=4n-2n. ------15分
下面用数学归纳法证明如下:(i)当n=1时,a1=2=4-2,猜想成立;
(ii)假设n=k时,猜想成立,即ak=4k-2k.那么当n=k+1时,ak+1=4ak+2k+1=4(4k-2k)+2k+1=4 k+1-2 k+1,结论也成立∴由(i)、(ii)可知,an=4n-2n.----18分
科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题满分18分)如图,将圆分成
个扇形区域,用3种不同颜色给每一个扇形区域染色,要求相邻区域颜色互异,把不同的染色方法种数记为
。求
(Ⅰ)
;
(Ⅱ)
与
的关系式;
(Ⅲ)数列
的通项公式
,并证明
。
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年上海市长宁区高三教学质量测试理科数学 题型:解答题
(本小题满分18分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
(文)已知数列
中,![]()
(1)求证数列
不是等比数列,并求该数列的通项公式;
(2)求数列
的前
项和
;
(3)设数列
的前
项和为
,若
对任意
恒成立,求
的最小值.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年上海市长宁区高三教学质量测试理科数学 题型:解答题
本小题满分18分) 本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
设函数
是定义域为R的奇函数.
(1)求k值;
(2)(文)当
时,试判断函数单调性并求不等式f(x2+2x)+f(x-4)>0的解集;
(理)若f(1)<0,试判断函数单调性并求使不等式
恒成立的
的取值范围;
(3)若f(1)=,且g(x)=a 2x+a - 2x-2m f(x) 在[1,+∞)上的最小值为-2,求m的值.
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