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(本小题满分18分)已知数列{an}、{bn}、{cn}的通项公式满足bn=an+1-an,cn=bn+1-bn(n∈N*?),若数列{bn}是一个非零常数列,则称数列{an}是一阶等差数列;若数列{cn}是一个非零常数列,则称数列{an}是二阶等差数列?(1)试写出满足条件a1=1,b1=1,cn=1(n∈N*?)的二阶等差数列{an}的前五项;(2)求满足条件(1)的二阶等差数列{an}的通项公式an;(3)若数列{an}首项a1=2,且满足cn-bn+1+3an=-2n+1(n∈N*?),求数列{an}的通项公式

(1)a1=1,a2=2,a3=4,a4=7,a5=11(2)an=(n2-n+2)/2  (3)an=4n-2n


解析:

(1)a1=1,a2=2,a3=4,a4=7,a5=11-----4分

(2)依题意bn+1-bn=cn=1,n=1,2,3,…

所以bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(bn-2-bn-3)+…+(b2-b1)+b1=1+1+1+…+1=n   ---6分

又an+1-an=bn=n,n=1,2,3,…所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1

=(n-1)+(n-2)+…+2+1+1=n(n-1)/2+1=(n2-n+2)/2  --10分

(3)由已知cn-bn+1+3an= -2n+1,可得bn+1-bn-bn+1+3an=-2n+1,即bn-3an=2n+1,∴an+1=4an+2n+1. -12分

解法一:整理得:an+1+2n+1=4(an+2n),-------15分

因而数列{an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,

∴an+2n=4·4n-1=4n,即an=4n-2n.(18分)

解法二:在等式an+1=4an+2n+1两边同时除以2n+1得:an+1/2n+1=2·an/2n+1.----15分

令kn=an/2n,则kn+1=2kn+1,即kn+1+1=2(kn+1)

故数列{kn+1}是首项为2,公比为2的等比数列所以kn+1=2·2n-1=2n,即kn=2n-1.

∴an=2nkn=2n(2n-1)=4n-2n. -------18分

解法三:∵a1=2,∴a2=12=22×(22-1),a3=56=23×(23-1),a4=32=24×(24-1)

猜想:an=2n(2n-1)=4n-2n. ------15分

下面用数学归纳法证明如下:(i)当n=1时,a1=2=4-2,猜想成立;

(ii)假设n=k时,猜想成立,即ak=4k-2k.那么当n=k+1时,ak+1=4ak+2k+1=4(4k-2k)+2k+1=4 k+1-2 k+1,结论也成立∴由(i)、(ii)可知,an=4n-2n.----18分

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