Question

13．已知椭圆${C_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，直线$l：y=x+2\sqrt{2}$与以原点为圆心、以椭圆C₁的短半轴长为半径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）若AC、BD为椭圆C₁的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F₂，求四边形ABCD的面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据a²=2b²以及e的值，求出a，b的值，从而求出椭圆的方程；
（Ⅱ）设出直线AC的方程，联立椭圆的方程求出|AC|，|BD|的表达式，结合不等式的性质求出四边形ABCD的面积的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）∵$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴${e^2}=\frac{c^2}{a^2}=\frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}=\frac{1}{2}$，∴a²=2b²，
∵直线l：x-y+2=0与圆x²+y²=b²相切∴$\frac{{2\sqrt{2}}}{{\sqrt{2}}}=b$，
∴b=2，b²=4，∴a²=8，
∴椭圆C₁的方程是$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$．…（4分）
（Ⅱ）当直线AC的斜率存在且不为零时，
设直线AC的斜率为k，A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
则直线AC的方程为y=k（x-2）．
联立$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1及y=k（x-2）得（1+2{k^2}）{x^2}-8{k^2}x+8{k^2}-8=0$．
所以${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{8{k^2}-8}}{{1+2{k^2}}}$，
$|AC|=\sqrt{（1+{k^2}）{{（{x_1}-{x_2}）}^2}}=\sqrt{（1+{k^2}）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}=\frac{{\sqrt{32}（{k^2}+1）}}{{1+2{k^2}}}$…．（7分）
由于直线BD的斜率为$-\frac{1}{k}，用-\frac{1}{k}$代换上式中的k可得$|BD|=\frac{{\sqrt{32}（1+{k^2}）}}{{{k^2}+2}}$
因为AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积为$S=\frac{1}{2}|AC|•|BD|=\frac{{16{{（1+{k^2}）}^2}}}{{（{k^2}+2）（1+2{k^2}）}}$…..（10分）
由$（1+2{k^2}）（{k^2}+2）≤{[\frac{{（1+2{k^2}）+（{k^2}+2）}}{2}]^2}={[\frac{{3（{k^2}+1）}}{2}]^2}$
所以$S≥\frac{64}{9}，当1+2{k^2}={k^2}+2时，即k=±1$时取等号．…（11分）
易知，当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积S=8
综上可得，四边形ABCD面积的最小值为$\frac{64}{9}$．…（12分）

点评 本题考查了求椭圆方程问题，考查椭圆的性质，直线和椭圆的位置关系以及不等式的性质，是一道综合题．