Question

设A、B、C表示△ABC的三个内角的弧度数，a，b，c表示其对边，求证：

aA+bB+cC

a+b+c

≥

π

3

．

Answer 1

分析：法一、不妨设A＞B＞C，则有a＞b＞c，由排序原理：顺序和≥乱序和，可得结论；
法二、不妨设A＞B＞C，则有a＞b＞c，由排序不等式

aA+bB+cC

3

≥

A+B+C

3

•

a+b+c

3

，可得结论．

解答：证明：法一、不妨设A＞B＞C，则有a＞b＞c
由排序原理：顺序和≥乱序和
∴aA+bB+cC≥aB+bC+cA
aA+bB+cC≥aC+bA+cB
aA+bB+cC=aA+bB+cC
上述三式相加得3（aA+bB+cC）≥（A+B+C）（a+b+c）=π（a+b+c）
∴

aA+bB+cC

a+b+c

≥

π

3

．
法二、不妨设A＞B＞C，则有a＞b＞c，
由排序不等式

aA+bB+cC

3

≥

A+B+C

3

•

a+b+c

3

，
即aA+bB+cC≥

π

3

（a+b+c），
∴

aA+bB+cC

a+b+c

≥

π

3

．

点评：本题考查不等式的证明，考查排序原理：顺序和≥乱序和，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．