Question

数列{a_n}满足S_n=2n-a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）计算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想通项公式a_n；
（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通过n=1，2，3，4，直接计算a₁，a₂，a₃，a₄，并由此猜想通项公式an=

2n-1

2n-1

(n∈N*)；
（Ⅱ）直接利用数学归纳法证明．检验n取第一个值时，等式成立，假设ak=

2k-1

2k-1

，证明．

解答：（本小题满分8分）
解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=s₁=2-a₁，所以a₁=1．
当n=2时，a₁+a₂=s₂=2×2-a₂，所以a2=

3

2

．
同理：a3=

7

4

，a4=

15

8

．
由此猜想an=

2n-1

2n-1

(n∈N*)…（5分）
（Ⅱ）证明：①当n=1时，左边a₁=1，右边=1，结论成立．
②假设n=k（k≥1且k∈N^*）时，结论成立，即ak=

2k-1

2k-1

，
那么n=k+1时，a_k+1=s_k+1-s_k=2（k+1）-a_k+1-2k+a_k=2+a_k-a_k+1，
所以2a_k+1=2+a_k，所以ak+1=

2+ak

2

=

2+ 2k-1 2k-1

2

=

2k+1-1

2k

，
这表明n=k+1时，结论成立．
由①②知对一切n∈N^*猜想an=

2n-1

2n-1

成立．…（8分）

点评：本题考查归纳推理，用数学归纳法证明等式，证明故当n=k+1时，猜想也成立，是解题的难点和关键．