Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，E是PC的中点．
（1）证明平面BDE⊥平面PBC；
（2）求二面角E-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由等腰三角形的性质，证出DE⊥PC．由PD⊥底面ABCD得PD⊥AD，结合AD⊥CD证出AD⊥平面PCD，从而得到AD⊥DE，结合题意AD∥BC得BC⊥DE．由线面垂直的判定定理证出DE⊥平面PBC，从而证出平面BDE⊥平面PBC．
（2）连接AC交BD于点M，分别取CD、DM的中点F、N，连接EN、FN、EF．可证出FN⊥BD且EN⊥BD，得∠ENF为二面角E-BD-C的平面角，在Rt△EFN中算出FN、EN的长，利用三角函数的定义即可求出二面角E-BD-C的余弦值．

解答：解：（1）∵PD=DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC．
∵PD⊥底面ABCD，AD?底面ABCD，∴PD⊥AD
又∵AD⊥CD，PD、CD是平面PCD内的相交直线，
∴AD⊥平面PCD，结合DE?平面PCD，得AD⊥DE．
由题意得AD∥BC，故BC⊥DE．
∵BC、PC是平面PBC内的相交直线，DE⊥PC
∴DE⊥平面PBC．
∵DE?平面BDE，∴平面BDE⊥平面PBC．
（2）连接AC，交BD于点M，分别取CD、DM的中点F、N，
连接EN、FN、EF，可得
∵EF为△PCD的中位线，∴EF∥PD
∵PD⊥底面ABCD，∴EF⊥底面ABCD
因此，EN在平面ABCD内的射影为FN
∵正方形ABCD中FN⊥BD，∴EN⊥BD
因此，∠ENF为二面角E-BD-C的平面角，
又∵EF=

1

2

，FN=

2

4

，
∴由勾股定理得EN=

EF2+FN2

=

6

4

，
在Rt△EFN中，cos∠ENF=

FN

EN

=

3

3

∴二面角E-BD-C的余弦值为

3

3

．

点评：本题在特殊四棱锥中求证面面垂直，并求二面角的大小．着重考查了空间线面垂直、面面垂直的判定与性质，二面角的定义及求法等知识，考查了空间想象能力．属于中档题．