Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=x²-1．
（1）求函数h（x）=f（x）-g（x）的最值；
（2）对于一切正数x，恒有f（x）≤k（x²-1）成立，求实数k的取值组成的集合．

Answer 1

【答案】分析：（1）求导函数，确定函数的单调性，从而可求函数h（x）最大值；
（2）构造函数F（x）=lnx-k（x²-1），对于一切正数x，恒有f（x）≤k（x²-1）成立，等价于F（x）≤0恒成立．求导函数，再进行分类讨论，即可确定实数k的取值组成的集合．
解答：解：（1）
求导函数可得，所以函数h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减．
所以h（x）的最大值为h（1）=0．…．（3分）
（2）令函数F（x）=lnx-k（x²-1）得
当k≤0时，F′（x）＞0恒成立，所以F（x）在（0，+∞）递增，
故x＞1时，F（x）＞F（0）=0不满足题意．…．（5分）
当k＞0时，当时，F′（x）＞0恒成立，函数F（x）递增；
当时，F′（x）＜0恒成立，函数F（x）递减．
所以；即 F（x）的最大值…．（8分）
令，则．
令函数，
所以当t∈（0，1）时，函数H（t）递减；当t∈（1，+∞）时，函数H（x）递增；
所以函数H（t）≥H（1）=0，
从而，∴（11分）
就必须当，即时成立．
综上．…．（12分）
点评：本题考查导数知识的运用，考查构造函数法解决不等式恒成立问题，解题的关键是构造函数，确定函数的最值．