Question

已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a³＋b³＋ab－a²－b²＝0．

Answer 1

答案：
解析：

证明：必要性： 　　∵a＋b＝1，即b＝1－a， 　　∴a3＋b3＋ab－a3－b3＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0． 　　充分性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0， 　　∴(a2－ab＋b2)(a＋b－1)＝0，又ab≠0，即a≠0且b≠0， 　　∴a2－ab＋b2＝()2＋，只有a＋b＝1． 　　综上可知，当ab≠0，a＋b＝1的充分条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0． 　　点评：证明充要条件，需要证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性分别是什么命题．