Question

（22）（Ⅰ）设函数，求的最小值；

（Ⅱ）设正数满足，证明       _.

Answer 1

(22)（Ⅰ）解：对函数f(x)求导数：

f′(x)=(xlog₂x) ′+[(1－x)log₂(1－x)] ′

=log₂x－ log₂(1－x)+

= log₂x－ log₂(1－x).

于是f′（）=0.

当x<时，f′(x)=log₂x－log₂(1－x)<0,f(x)在区间（0,）是减函数，

当x>时，f′(x)=log₂x－log₂(1－x)>0, f(x)在区间（,1）是增函数。

所以f（x）在x=时取得最小值，f()=-1.

(Ⅱ)证法一：用数学归纳法证明。

（i）当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立。

(ii)假定当n=k时命题成立，即若正数p₁,p₂,…,满足p₁+p₂+…+=1,则

p₁log₂p₁+p₂log₂p₂+…+log₂≥－k.

当n=k+1时，若正数p₁,p₂,…,满足p₁+p₂+…+=1,令

x=p₁+p₂+…+,q₁=q₂=…,=

则q₁,q₂,…,为正数，且q₁+q₂+…+=1.

由归纳假定知q₁log₂q₁+q₂log₂q₂+…+log₂≥－k.

p₁log₂p₁+p₂log₂p₂+…+log₂

=x(q₁log₂q₁+q₂log₂q₂+…+log₂+log₂x)≥x(－k)+xlog₂x,                         ①

同理，由++…+=1－x,可得

log₂+…+log₂≥(1－x)(－k)+(1－x)log₂(1－x).   ②

综合①、②两式

p₁log₂p₁+p₂log₂p₂+…+log₂

≥[x+(1－x)](－k)+xlog₂x+(1－x)log₂(1－x)

≥－(k+1).

即当n=k+1时命题也成立。

根据（i）、(ii)可知对一切正整数n命题成立。

证法二：

令函数g(x)=xlog₂x+(c－x)log₂(c－x)(常数c>0,x∈（0，c）),那么

g(x)=c[log₂+(1－)log₂(1－)+log₂c],

利用（Ⅰ）知，当=（即x=）时，函数g(x)取得最小值。

于是对任意x₁>0,x₂>0,都有

x₁log₂x₁+x₂log₂x₂≥2·log₂=(x₁+x₂)[log₂(x₁+x₂)-1]   ①

下面用数学归纳法证明结论.

(i)                  当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立。

(ii)                设当n=k时命题成立，即若正数p₁,p₂,…满足p₁+p₂+…+=1,有p₁log₂p₁+p₂log₂p₂+…+log₂≥－k

当n=k+1时，p₁,p₂,…满足p₁+p₂+…+=1.

令H=p₁log₂p₁+p₂log₂p₂+…+log₂+log₂,由①得到

H≥(p₁+p₂)[log₂(p₁+p₂)-1]+…+(+)[log₂(+)-1],

因为（p₁+p₂）+…+(+)=1,

由归纳法假设

（p₁+p₂）log₂(p₁+p₂)+…+(+)log₂(+)≥－k,得到

H≥-k-(p₁+p₂+…++)=－(k+1).

即当n=k+1时命题也成立。

所以对一切正整数n命题成立