Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a₁=1，且对于任意n∈N^*，S_n+2ⁿ是a_n+1与a₁的等差中项．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）求证数列{a_n+2ⁿ}是等比数列；
（3）求{

an

3n

}的前n项和．

Answer 1

分析：（1）由对于任意n∈N^*，S_n+2ⁿ是a_n+1与a₁的等差中项，可得an+1+a1=2(Sn+2n)，分别令n=1，2即可得出a₂，a₃；
（2）由an+1+a1=2(Sn+2n)，可得an+a1=2(Sn-1+2n-1)，（n≥2）．
两式相减得an+1=3an+2n，可化为an+1+2n+1=3(an+2n)，
又a2+22=3×(1+21)，可得数列{a_n+2ⁿ}是以a1+21=3为首项，3公比的等比数列．
（3）由（2）可知：an+2n=3×3n-1，得an=3n-2n．
可得

an

3n

=

3n-2n

3n

=1-(

2

3

)n，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：（1）∵对于任意n∈N^*，S_n+2ⁿ是a_n+1与a₁的等差中项，
∴an+1+a1=2(Sn+2n)，
当n=1时，可得a2+a1=2(a1+21)，又a₁=1，解得a₂=5，
当n=2时，可得a3+a1=2(a1+a2+22)，解得a₃=19．
（2）由an+1+a1=2(Sn+2n)，可得an+a1=2(Sn-1+2n-1)，（n≥2）．
两式相减得an+1=3an+2n，
∴an+1+2n+1=3(an+2n)，
又a2+22=3×(1+21)，
∴数列{a_n+2ⁿ}是以a1+21=3为首项，3公比的等比数列．
（3）由（2）可知：an+2n=3×3n-1，得an=3n-2n．
∴

an

3n

=

3n-2n

3n

=1-(

2

3

)n，
∴{

an

3n

}的前n项和=(1+1+…+1)-(

2

3

+(

2

3

)2+…+(

2

3

)n)=n-2(1-(

2

3

)n)=n-2+2•(

2

3

)n．

点评：熟练掌握等差数列、等比数列及其前n项和公式、以及可化为等比数列的数列的解法等是解题的关键．