Question

如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面A₁ABB₁和BCC₁B₁是两个全等的正方形，AC₁⊥平面A₁DB，D为AC的中点．
(Ⅰ)求证：平面A₁ABB⊥平面BCC₁B₁；
(Ⅱ)求证：B₁C∥平面A₁DB；
(Ⅲ)设E是CC₁上一点，试确定点E的位置，使平面A₁DB⊥平面BDE，并说明理由．

Answer 1

(Ⅰ)解法一：∵AC1⊥平面A1DB，A1B平面A1DB， ∴AC1⊥A1B， 又在正方形A1ABB1中，A1B⊥AB1，AC1∩AB1=A， ∴A1B⊥面AC1B1， 又B1C1面AC1B1， ∴ A1B⊥B1C1，  又在正方形BCC1B1中有，B1C1⊥BB1， 又BB1∩A1B=B， ∴B1C1⊥平面A1ABB1，B1C1平面B1BCC1， ∴平面A1ABB1⊥平面BCC1B1。 解法二：由已知可知三棱柱是直三棱柱， ∴四边形A1ACC1为矩形， 又AC1⊥平面A1DB，A1D平面A1DB， ∴AC1⊥A1D， 又D为AC的中点， ∴由平面几何知识可知，△A1AD~△ACC1， ∴AA1：AD=AC：CC1，AC2= AA1·CC1=AB2， ∴AC=AB， ∴AB⊥BC， 又BC⊥BB1且BB1∩AB=B， ∴BC⊥平面A1ABB1，BC平面BCC1B1， ∴平面A1ABB1⊥平面BCC1B1。
(Ⅱ)解法一：由(Ⅰ)知BC，BB1，BA两两垂直， 如图以B为原点，BC，BB1，BA分别为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系B-xyz， 设正方形边长为1，则 ， ， 由AC1⊥平面A1DB，得平面A1DB的法向量为， ∵， ∴， 又平面A1DB， ∴平面A1DB。 解法二：连接AB1交A1B于点O，连接OD， ∴O为AB1中点，又D为AC中点， ∴在△ACB1中，OD// CB1，  ∵CB1平面A1DB1，OD平面A1DB， ∴B1C∥平面A1BD。
(Ⅲ)解法一：设点E(1，b，0)，平面BDE的法向量为m=(x，y，z)， 则有， 得， 令y=l，则m=(-b，1，b)， 由m·n=(1，1，-1)·(-b，1，b)=0，得b=， 即当E为CC1中点时，平面A1BD⊥平面BDE。 解法二：取CC1中点E， D为AC中点， 在△ACC1中， ∴DE∥AC1， 又AC1⊥平面A1DB，  ∴DE⊥平面A1DB，DE平面BDE， ∴平面A1DB⊥平面BDE， 即当E为CC1中点时，平面A1DB⊥平面BDE。