Question

△ABC中，三边长a，b，c满足a³+b³=c³，那么△ABC的形状为（　　）

A．锐角三角形

B．钝角三角形

C．直角三角形

D．以上均有可能

Answer 1

分析：依题意可知∠C为△ABC中的最大角，且(

a

c

)3+(

b

c

)3=1；利用指数函数的单调性可证得(

a

c

)2＞(

a

c

)3，(

b

c

)2＞(

b

c

)3，利用不等式的性质与余弦定理即可判断出答案．

解答：解：∵a³+b³=c³，
∴∠C为△ABC中的最大角，且(

a

c

)3+(

b

c

)3=1；
∴0＜a＜c，0＜b＜c，
∴0＜

a

c

＜1，0＜

b

c

＜1，
∴(

a

c

)2＞(

a

c

)3，
(

b

c

)2＞(

b

c

)3，
∴(

a

c

)2+(

b

c

)2＞(

a

c

)3+(

b

c

)3=1，
∴c²＜a²+b²，由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

＞0，
∴∠C为锐角．
∴△ABC为锐角三角形．
故选A．

点评：本题考查三角形形状的判定，得到(

a

c

)2+(

b

c

)2＞(

a

c

)3+(

b

c

)3=1是关键，也是难点，考查转化思想与创新思维能力，属于难题．