Question

设集合A＝{x|x²＋4x＝0}，B＝{x|x²＋2(a＋1)x＋a²－1＝0，a∈R}．若A∩B＝B，求a的值．

Answer 1

答案：
解析：

思路分析：首先可以看到集合A中可以用列举法表示出集合中的元素(其元素即是方程x2＋4x＝0的解)，然后根据集合间的关系，可以发现，A的元素和B中元素的关系．也就是说可以明确B的元素(即方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的根)，进而解出a的值． 　　解：首先化简集合A，得A＝{－4，0}， 　　由A∩B＝B，则有BA，可知集合B或为或为{0}或为{－4}或为{0，－4}， 　　①若B＝时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1． 　　②若0∈B，代入得a2－1＝0a＝1或a＝－1． 　　当a＝1时，B＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}＝A，合题意； 　　当a＝－1时，B＝{x|x2＝0}＝{0}A，也合题意． 　　③若－4∈B，代入得a2－8a＋7＝0a＝7或a＝1． 　　当a＝1时，已讨论，合题意； 　　当a＝7时，B＝{x|x2＋16x＋48＝0}＝{－12，－4}，不合题意． 　　由①②③得，a＝1或a≤－1．

提示：

此题考查分类讨论思想，以及集合间的关系的应用．通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题．这称为数学的化归思想，是数学思想的常用方法，在高考中重点考查．