Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+1，对于任意的实数x₁、x₂（x₁≠x₂），都有成立，且f（x+2）为偶函数．
（1）求a的取值范围；
（2）求函数y=f（x）在[a，a+2]上的值域；
（3）定义区间[m，n]的长度为n-m．是否存在常数a，使的函数y=f（x）在区间[a，3]的值域为D，且D的长度为10-a³．

Answer 1

解：（1）由f（x+2）为偶函数可得f（x）=ax²+bx+1的图象关于直线x=2对称，
则，f（x）=ax²-4ax+1；
对于任意的实数x₁、x₂（x₁≠x₂），都有成立，则=，
因为x₁≠x₂，
所以（x₁-x₂）²＞0，
故a＞0．
（2）f（x）=ax²-4ax+1=a（x-2）²+1-4a，
因为a＞0，
所以a+2＞2．
当a+1≤2时，即0＜a≤1时，f（x）_min=1-4a，f（x）_max=a³-4a²+1，
函数y=f（x）的值域为[1-4a，a³-4a²+1]；
当1＜a≤2时，f（x）_min=1-4a，f（x）_max=a³-4a+1，
函数y=f（x）的值域为[1-4a，a³-4a+1]；
当a＞2时，f（x）_min=a³-4a²+1，f（x）_max=a³-4a+1，
函数y=f（x）的值域为[a³-4a²+1，a³-4a+1]．
（3）f（x）=ax²-4ax+1=a（x-2）²+1-4a，
当0＜a≤1时，f（x）_min=1-4a，f（x）_max=a³-4a²+1，
f（x）_max-f（x）_min=a³-4a²+1-（1-4a）=a（a-2）²，
由0＜a≤1时，1≤（a-2）²＜4，则a（a-2）²＜4，而10-a³＞9，不合题意；
当1＜a＜2时，f（x）_min=1-4a，f（x）_max=1-3a，
f（x）_max-f（x）_min=1-3a-（1-4a）=a，
由1＜a＜2，得10-a³＞2，所以a≠10-a³，不合题意；
当2≤a＜3时，f（x）_min=a³-4a²+1，f（x）_max=1-3a，f（x）_max-f（x）_min=1-3a-（a³-4a²+1）=10-a³，
故4a²-3a-10=0，（4a+5）（a-2）=0，
因为2≤a＜3，
所以a=2．
综上所述：存在常数a=2符合题意．
分析：（1） 确定二次函数f（x）的对称轴，找出 a、b的关系，由已知不等式得出a的范围．
（2）区间[a，a+2]可能包含函数的对称轴，也可能在对称轴的右边，二次函数f（x）图象是开口向上的抛物线，当区间[a，a+2]包含对称轴时，求函数值域需考虑对称轴是靠近区间左端点，还是靠近区间右端点，从而确定函数值域．当区间[a，a+2]在对称轴右边时，函数在区间上是增函数，易求函数值域．
（3）当区间[a，3]包含对称轴时，求函数值域需考虑对称轴是靠近区间左端点，还是靠近区间右端点，从而确定函数值域．看满足且D的长度为10-a³的a值是否存在．当区间[a，3]在对称轴右边时，函数在区间上是增函数，易求函数值域．再看满足且D的长度为10-a³的a值是否存在．
点评：本题综合考查函数的奇偶性、单调性、对称性、值域、抽象函数等知识．注意分类讨论的数学思想方法．