Question

已知二次函数f（x）满足f(0)=1，f(1)=-1，f(

3

2

+x)=f(

3

2

-x)．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f（x）=-mx的两根x₁和x₂满足x₁＜x₂＜1，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设二次函数f（x）=ax²+bx+c，则抛物线的对称轴为x=

3

2

．由此能求出函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）由f（x）=x²-3x+1=-mx，得x²+（m-3）x+1=0．设g（x）=x²+（m-3）x+1，则抛物线的对称轴为x=-

m-3

2

．方程g（x）=0的两根x₁和x₂满足x₁＜x₂＜1，由此能求出实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）设二次函数f（x）=ax²+bx+c，则抛物线的对称轴为x=

3

2

．
根据题意得

c=1 a+b+c=-1 - b 2a = 3 2

，
解之得a=1，b=-3，c=1．
所以，函数f（x）的解析式为f（x）=x²-3x+1．
（Ⅱ）由f（x）=x²-3x+1=-mx得x²+（m-3）x+1=0．
设g（x）=x²+（m-3）x+1，
则抛物线的对称轴为x=-

m-3

2

．
方程g（x）=0的两根x₁和x₂满足x₁＜x₂＜1，
则有

△=(m-3)2-4＞0 g(1)=m-1＞0 - m-3 2 ＜1

解之得m＞5．
所以，实数m的取值范围为（5，+∞）．

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查满足条件的实数m的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．