Question

已知函数f(x)=2cosxsin(x+

π

3

)-

3

sin2x+sinxcosx，
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期； 
（Ⅱ）求f（x）在区间[-

π

6

，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将函数解析式第一项最后一个因式利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用二倍角的正弦函数公式化简，最后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，即可求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象求出此时函数的值域，即可确定出f（x）在区间[-

π

6

，

π

2

]上的最大值和最小值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=2cosx（

1

2

sinx+

3

2

cosx）-

3

sin²x+

1

2

sin2x
=sinxcosx+

3

（cos²x-sin²x）+

1

2

sin2x
=sin2x+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

），
∵ω=2，
∴函数f（x）的最小正周期T=π；
（Ⅱ）∵-

π

6

≤x≤

π

2

，∴0≤2x+

π

3

≤

4π

3

，
∴-

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1，
∴-

3

≤2sin（2x+

π

3

）≤2，
∴f（x）在区间[-

π

6

，

π

2

]上的最大值为2，最小值为-

3

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．