Question

19．如图，在△ABC中，记$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow a，\overrightarrow{BC}=\overrightarrow b$，∠B=$\frac{π}{3}$，AB=8，点D在BC边上，且CD=2，cos∠ADC=$\frac{1}{7}$．
（Ⅰ）试用$\overrightarrow a，\overrightarrow b$表示$\overrightarrow{DA}$；
（Ⅱ）若以B点为坐标原点，BC所在的直线为x轴（正方向为向右）建立平面直角坐标系，使得点A落在第一象限．点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上，设$\overrightarrow{BP}=m\overrightarrow a+n\overrightarrow b（m，n∈R）$，求m-n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可设$\overrightarrow{BD}=λ\overrightarrow{b}$（0＜λ＜1），从而$\overrightarrow{DC}=（1-λ）\overrightarrow{b}$，这便可得到$（1-λ）|\overrightarrow{b}|=2$，而$\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}$，根据条件即可得到$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{8}{1-λ}，{\overrightarrow{b}}^{2}=\frac{4}{（1-λ）^{2}}$，从而便可求出$cos∠ADC=\frac{2-\frac{λ}{1-λ}}{\sqrt{12+（2-\frac{λ}{1-λ}）^{2}}}=\frac{1}{7}$，这样便可解出$λ=\frac{3}{5}$，从而用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$表示出向量$\overrightarrow{DA}$；
（Ⅱ）根据题意便可求出点B，A，C三点的坐标，从而求出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的坐标，这样根据$\overrightarrow{BP}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$便可求出$\overrightarrow{BP}=（4m+5n，4\sqrt{3}m）$，从而得到$\left\{\begin{array}{l}{x=4m+5n}\\{y=4\sqrt{3}m}\end{array}\right.$，这样即可求出$m-n=-\frac{1}{5}x+\frac{9}{20\sqrt{3}}y$，从而由线性规划的知识即可求出m-n的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题意不妨设$\overrightarrow{BD}=λ\overrightarrow{b}（0＜λ＜1）$，则$\overrightarrow{DC}=（1-λ）\overrightarrow{b}$；
∴$（1-λ）|\overrightarrow{b}|=2$；
$\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}$；
又$|\overrightarrow{a}|=8，∠B=\frac{π}{3}$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=8•\frac{2}{1-λ}•\frac{1}{2}=\frac{8}{1-λ}，{\overrightarrow{b}}^{2}=\frac{4}{（1-λ）^{2}}$；
∴$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DC}=（\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow{b}）•（1-λ）\overrightarrow{b}$=$（1-λ）\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-λ（1-λ）{\overrightarrow{b}}^{2}$=$8-\frac{4λ}{1-λ}$，${\overrightarrow{DA}}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-2λ\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{λ}^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}=64-\frac{16λ}{1-λ}$$+\frac{4{λ}^{2}}{（1-λ）^{2}}$；
∴$cos∠ADC=\frac{\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DC}}{|\overrightarrow{DA}||\overrightarrow{DC}|}$=$\frac{8-\frac{4λ}{1-λ}}{\sqrt{64-\frac{16λ}{1-λ}+\frac{4{λ}^{2}}{（1-λ）^{2}}}•2}=\frac{2-\frac{λ}{1-λ}}{\sqrt{12+（2-\frac{λ}{1-λ}）^{2}}}=\frac{1}{7}$；
解得$λ=\frac{3}{5}$；
∴$\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{a}-\frac{3}{5}\overrightarrow{b}$；
（Ⅱ）由题意知$B（0，0），A（4，4\sqrt{3}），C（5，0）$；
∴$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{BA}=（4，4\sqrt{3}），\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BC}=（5，0）$；
∴$\overrightarrow{BP}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}=m（4，4\sqrt{3}）+n（5，0）$=$（4m+5n，4\sqrt{3}m）$；
又P（x，y），∴$\left\{\begin{array}{l}{x=4m+5n}\\{y=4\sqrt{3}m}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{y}{4\sqrt{3}}}\\{n=\frac{1}{5}（x-\frac{y}{\sqrt{3}}）}\end{array}\right.$；
∴$m-n=-\frac{1}{5}x+\frac{9}{20\sqrt{3}}y$；
∵点P（x，y）在△ABC三边围成的区域（含边界）上，由线性规划知识知，当点P处于点A（$4，4\sqrt{3}$）位置时m-n最大，且最大值为1．

点评 考查向量数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法：$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）^{2}}$，以及向量夹角的余弦公式，完全平方式的运用，能求平面直角坐标系下点的坐标，根据点的坐标可求向量的坐标，向量坐标的加法和数乘运算，以及线性规划的方法求变量的最值．