Question

已知二次函数f(x)=ax²+bx+c(a,b,c均为实数),满足a-b+c=0，对于任意实数x 都有f (x)-x≥0，并且当x∈（0，2）时,有f (x)≤.

   （1）求f (1)的值；

（2）证明：ac≥；

（3）当x∈[-2，2]且a+c取得最小值时，函数F(x)=f (x)-mx (m为实数)是单调的，求证：m≤或m≥.

Answer 1

（1）f (1)=1.

（2）见解析

（3）见解析

解析:

（1）∵对于任意x∈R，都有f (x)-x≥0,且当x∈(0,2)时,

有f (x) ≤.令x=1

∴1≤f (1) ≤.

即f (1)=1.  5分

   （2） 由a-b+c=0及f (1)=1.

有,可得b=a+c=. 7分

又对任意x,f(x)-x≥0,即ax²-x+c≥0.

∴a＞0且△≤0.

即-4ac≤0,解得ac≥.   9分

（3） 由(2)可知a＞0,c＞0.

a+c≥2≥2·=.   10分

当且仅当时等号成立.此时

a=c=.

∴f (x)= x²+x+,

F (x)=f (x)-mx=[x²+(2-4m)x+1].    12分

当x∈[-2,2]时，f (x)是单调的，所以F (x)的顶点一定在[-2，2]的外边.

∴≥2.  13分

解得m≤-或m≥. …………………………………………………………..14分