Question

已知函数f(x)=2sin(

1

3

x-

π

6

)，x∈R．
（1）求f(

5π

4

)的值；
（2）设α，β∈[0，

π

2

]，f(3α+

π

2

)=

10

13

，f(3β+2π)=

6

5

，求cos

α+β

2

的值．

Answer 1

分析：（1）把

5π

4

代入f（x）即可得出；
（2）把3α+

π

2

，3β+2π分别代入f（x）化简整理再利用平方关系，再利用两角和的余弦公式、倍角公式即可得出．

解答：解：（1）f(

5π

4

)=2sin(

1

3

×

5π

4

-

π

6

)=2sin

π

4

=

2

．
（2）f(3α+

π

2

)=2sin[

1

3

(3α+

π

2

)-

π

6

]=2sinα=

10

13

，∴sinα=

5

13

．∵α∈[0，

π

2

]，∴cosα=

12

13

．
f(3β+2π)=2sin[

1

3

(3β+2π)-

π

6

]=2sin(β+

π

2

)=2cosβ=

6

5

，解得cosβ=

3

5

．∵β∈[0，

π

2

]，∴sinβ=

4

5

．
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

12

13

×

3

5

-

5

13

×

4

5

=

16

65

．
∵α，β∈[0，

π

2

]，∴

α+β

2

∈[0，

π

2

]，∴cos

α+β

2

＞0，
∴cos

α+β

2

=

cos(α+β)+1 2

=

9 130

130

．

点评：本题综合考查了三角函数的平方关系、两角和的余弦公式、倍角公式等基础知识与基本方法，属于基础题．