Question

若cos²θ＋2msinθ－2m－2＜0对θ∈R恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解法1：原不等式即1－sin2θ＋2msinθ－2m－2＜0，即sin2θ－2msinθ＋2m＋1＞0． 　　设x＝sinθ，即x2－2mx＋2m＋1＞0． 　　再设f(x)＝x2－2mx＋2m＋1． 　　即化为f(x)＞0在x∈[－1，1]上恒成立，求实数m的范围． 　　∵f(x)＞0在x∈[－1，1]上恒成立，

提示：

此题是三角背景下的一道函数题，解法1通过作代换，转化为求函数f(x)在[－1，1]上大于0恒成立的问题，因对称轴x＝m含有参数，故分类为对称轴在[－1，1]左边、右边、里面三种情况讨论，注意分类时不要遗漏区间的端点；解法2通过分离变量，求出的最大值，只要m大于其最大值即可，在求最大值时利用了基本不等式，故解此题需综合运用三角、函数、不等式的知识．