Question

已知直线l过点P(4,0),且与圆O：x²+y²=8相交,求直线l的倾斜角α的取值范围.

Answer 1

解法一：设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,

因为直线l与圆O相交,所以圆心O到直线l的距离小于半径,

即＜2.化简得k²＜1,所以-1＜k＜1,即-1＜tanα＜1.

当0≤tanα＜1时,0≤α＜；当-1＜tanα＜0时,＜α＜π.

所以α的取值范围是［0,)∪(,π).

解法二：设直线l的方程为y=k(x-4),

由消去y得(k²+1)x²-8k²x+16k²-8=0.

    因为直线l与圆O相交,所以Δ=(-8k²)²-4(k²+1)(16k²-8)＞0,

化简得k²＜1.(以下同解法一)

点评:涉及直线与圆的位置关系的问题,常可运用以上两种方法.本题若改为选择题或填空题,也可利用图形直接得到答案.