Question

设函数f（x）=（

1

2

）^|x-4|-|x+1|-8，求使f（x）≥0的x的取值范围．

Answer 1

分析：由f（x）=2^|x+1|-|x-4|-8≥0，可得2^|x+1|-|x-4|≥2³，故有|x+1|-|x-4|≥3．分x≤-1、-1＜x≤4、x＞4三种情况，分别求得x的范围，再取并集，即得所求．

解答：解：∵f（x）=2^|x+1|-|x-4|-8≥0，∴2^|x+1|-|x-4|≥2³，∴|x+1|-|x-4|≥3．…（2分）
（1）当 x≤-1时，由 

x≤-1 -x-1+x-4≥3

 求得 x∈∅．…（5分）
（2）当-1＜x≤4 时，由 

-1＜x≤4 x+1+x-4≥3

，求得3≤x≤4．…（8分）
（3）当 x＞4时，由  

x＞4 x+1-x+4≥3

，可得x＞4．…（11分）
综上：x的取值范围是[3，+∞）．…（12分）

点评：本题主要考查指数不等式、绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．