Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点.

(1)求直线AC与PB所成角的余弦值；

(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.

Answer 1

思路点拨：由本题的已知条件不难看出，可以通过建立空间直角坐标系来解决，要求两条直线所成的角，就可以考虑求相关的向量的夹角；要使得线面垂直，围绕着线面垂直的判定定理来考虑，转而去证明向量间的垂直，从而将问题解决.

解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标为A(0,0,0)、B(,0,0)、C(,1,0)、D(0,1,0)、P(0,0,2)、E(0,,1)，

从而=(,1,0)，=(,0,-2).

设与的夹角为θ，则有

cosθ=

∴AC与PB所成角的余弦值为.

(2)由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x,0,z)，则=(-x,,1-z),

由NE⊥平面PAC,可得即

化简得

即N点的坐标为(,0,1)，从而N点到AB和AP的距离分别为1，.

［一通百通］  有关求空间的两条直线的夹角问题，可以考虑去求相关的向量的夹角，从而得出结论.不过，要注意的是由向量的夹角得到对应直线的所成的角过程中，由于向量的夹角范围是［0,π］，而直线所成的角的范围是［0,］，因此在作结论时，要注意如果求得的向量的夹角大于，此时对应的直线所成的角是这个角的补角；如果求得的向量的夹角不大于，此时对应的直线所成的角等于这个角.