证明:不等式ln(1+x)＞x-x2(x＞0). 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

证明：不等式ln（1+x）＞x－x²（x＞0）.

证明：令f（x）=ln（1+x）－x+x²，则f′（x）=.

当x>0时，f′（x）>0，

因此f（x）在（0，+∞）内为增函数.

又因为f（0）=0，

于是当x>0时，f（x）>0.

∴当x>0时，ln（1+x）>x－x².

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相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：

设函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（Ⅰ）当b＞

时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式ln(

+1)＞

都成立．

科目：高中数学 来源： 题型：

数列{a_n}满足a₁=1且a_n+1=（1+

n2+n

）a_n+

（n≥1）．
（Ⅰ）用数学归纳法证明：a_n≥2（n≥2）；
（Ⅱ）已知不等式ln（1+x）＜x对x＞0成立，证明：a_n＜e²（n≥1），其中无理数e=2.71828…．

科目：高中数学 来源： 题型：

已知函数f（x）=x²+aln（x+1）+b（a，b∈R）在点（0，f（0））的切线方程为y=-x．
（1）求a，b的值；
（2）当x∈[-

，1]时，f（x）的图象与直线y=-x+m有两个不同的交点，求实数m的取值范围；
（3）证明对任意的正整数n，不等式ln(

+1)＞

都成立．

科目：高中数学 来源： 题型：

设函数f（x）=blnx-（x-1）²，其中b为常数．
（Ⅰ）若b=4，求函数f（x）的单调递减区间；
（II）若函数f（x）有极值点，求b的取值范围及f（x）的极值点；
（Ⅲ）证明：对任意不小于3的正整数n，不等式ln(n+1)-lnn＞

都成立．

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