Question

一个几何体的三视图如图所示．
（1）写出这个几何体的名称；
（2）求多面体的体积．

Answer 1

分析：（1）根据三视图的形状，初步判断可得该几何体是平放的一个三棱柱．再根据主视图和俯视图的形状得到三棱柱的侧棱与底面互相垂直，结合左视图的形状可得它的两个侧面互相垂直且底面是一个等腰直角三角形，由此可得该几何体是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱；
（2）由（1）所得结论，作出三棱柱的直观图如图所示，不难算出它的底面积S_△ABC=2，高AA₁=2，根据柱体体积公式即可得到三棱柱的体积，从而得到所求多面体的体积．

解答：解：（1）根据三视图的形状，初步判断可得该几何体是平放的一个三棱柱
∵主视图和俯视图都是边长2的正方形，
∴三棱柱的侧棱与底面互相垂直，其形状是边长2的正方形，
∵左视图是一个直角三角形，
∴三棱柱朝下的侧面和正对着我们的两个侧面互相垂直，
又∵左视图是两条直角边都是2，斜边为2

2

的等腰直角三角形，
∴这个几何体是底面是等腰直角三角形的直三棱柱
（写成直三棱柱也给分）…（4分）
（2）作出三棱柱ABC-A₁B₁C₁如图所示
由（1）的结论，可得△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，且侧棱AA₁⊥平面ABC
∵底面三角形ABC的面积S_△ABC=

1

2

×2×2=2，高AA₁=2
∴该直三棱柱的体积为V=S_△ABC×AA₁=2×2=4
即该多面体的体积等于4．…（8分）

点评：本题给出直三棱柱的三视图，要求我们还原它的形状并求它的体积，着重考查了三视图的理解和柱体体积公式等知识，考查了空间想象能力，属于中档题．