Question

在数列{a_n}中，a₁=5，a_n+1=3a_n-4n+2，其中n∈N^*．
（1）设b_n=a_n-2n，求数列{b_n}的通项公式；
（2）记数列{a_n}的前n项和为S_n，试比较S_n与n²+2011n的大小．

Answer 1

（1）由a_n+1=3a_n-4n+2得a_n+1-2（n+1）=3（a_n-2n），
又a₁-2=1≠0，a_n-2n≠0，得

an+1-2(n+1)

an-2n

=3，
所以，数列{a_n-2n}是首项为3，公比为3的等比数列，
所以，b_n=3ⁿ．
（2）a_n-2n=3ⁿ?a_n=2n+3ⁿ，Sn=

3

2

(3n-1)+n(n+1)，Sn-(n2+2011n)=

3

2

(3n-1)-2010n=

3

2

(3n-1340n-1)．
设c_n=3ⁿ-1340n-1，
由于c_n+1-c_n=2•3ⁿ-1340
当n＜6时，c_n+1＜c_n
当n≥6时，c_n+1＞c_n
即，当n＜6时，数列{c_n}是递减数列，当n≥6时，数列{c_n}是递增数列
又c₁=-4018＜0，c₈=-4160＜0，c₉=7622＞0
所以，当n≤8时，S_n＜n²+2011n；
所以，当n＞8时，S_n＞n²+2011n．