Question

已知圆O₁:x²+(y+1)²=4,圆O₂的圆心为O₂(2,1),若两圆交于A、B两点,且|AB|=2,求圆O₂的方程.

Answer 1

思路点拨：直线和圆相交问题中,往往用垂径定理解决问题.即圆心到直线的距离为d,圆半径r,半弦长,三者满足勾股定理r²=()²+d².

解：设圆O₂的方程为(x-2)²+(y-1)²=r²,因为圆O₁的方程是x²+(y+1)²=4,此两圆相减即得两圆的公共弦AB所在直线的方程4x+4y+r²-8=0.                                         ①

作O₁H⊥AB,则|AH|=|AB|=,O₁H=.

由圆心(0,-1)到直线①的距离可得,得r²=4或r²=20.

所以所求圆O₂的方程为(x-2)²+(y-1)²=4或(x-2)²+(y-1)²=20.

［一通百通］ 对于两个相交的圆,只要把两圆方程相减即可得到两圆的公共弦所在直线的方程;若两圆相切,两圆方程相减得到是一条公切线方程.由此可见圆的相切可以看出相交的一种极限状态,切线也可以看成圆的长度为0的弦.在实际解决圆有关的问题中,通过对形的理解往往可以简化运算,达到事半功倍的效果.