Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥面ABC，∠BAC=90°，AC=AB=AA₁，E是BC的中点．
（1）求证：AE⊥B₁C；
（2）求异面直线AE与A₁C所成的角；
（3）若G为C₁C中点，求二面角C-AG-E的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由BB₁⊥面ABC及线面垂直的性质可得AE⊥BB₁，由AC=AB，E是BC的中点，及等腰三角形三线合一，可得AE⊥BC，结合线面垂直的判定定理可证得AE⊥面BB₁C₁C，进而由线面垂直的性质得到AE⊥B₁C；
（2）取B₁C₁的中点E₁，连A₁E₁，E₁C，根据异面直线夹角定义可得，∠E₁A₁C是异面直线A与A₁C所成的角，设AC=AB=AA₁=2，解三角形E₁A₁C可得答案．
（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC，由直三棱锥的侧面与底面垂直，结合面面垂直的性质定理，可得EP⊥平面ACC₁A₁，进而由二面角的定义可得∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．
解答：证明：（1）因为BB₁⊥面ABC，AE?面ABC，所以AE⊥BB₁-----------------（1分）
由AB=AC，E为BC的中点得到AE⊥BC-----------------（2分）
∵BC∩BB₁=B∴AE⊥面BB₁C₁C----------------（3分）
∴AE⊥B₁C-----------------（4分）
解：（2）取B₁C₁的中点E₁，连A₁E₁，E₁C，
则AE∥A₁E₁，
∴∠E₁A₁C是异面直线AE与A₁C所成的角．----------------（6分）
设AC=AB=AA₁=2，则由∠BAC=90°，
可得A₁E₁=AE=，A₁C=2，E₁C₁=EC=BC=
∴E₁C==
∵在△E₁A₁C中，cos∠E₁A₁C==------------------（8分）
所以异面直线AE与A₁C所成的角为．------------------（9分）
（3）连接AG，设P是AC的中点，过点P作PQ⊥AG于Q，连EP，EQ，则EP⊥AC----（10分）
又∵平面ABC⊥平面ACC₁A₁  
∴EP⊥平面ACC₁A₁-------------（11分）
而PQ⊥AG∴EQ⊥AG．
∴∠PQE是二面角C-AG-E的平面角．-------------（12分）
由EP=1，AP=1，PQ=，得tan∠PQE==
所以二面角C-AG-E的平面角正切值是-----------（13分）
点评：本题是与二面角有关的立体几何综合题，主要考查了异面直线的夹角，线线垂直的判定，二面角等知识点，难度中档，熟练掌握线面垂直，线线垂直与面面垂直之间的转化及异面直线夹角及二面角的定义，是解答本题的关键．