Question

已知等差数列{a_n}前三项的和为-3，前三项的积为8．
（Ⅰ）求等差数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a₂，a₃，a₁成等比数列，求数列{|a_n|}的前n项和．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，由等差数列{a_n}前三项的和为-3，前三项的积为8，利用等差数列的通项公式列出方程组，求公差和首项，由此能求出等差数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）和a₂，a₃，a₁分别为-1，2，-4，成等比数列，知|a_n|=|3n-7|=，由此能求出数列{|a_n|}的前n项和为S_n．
解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
则a₂=a₁+d，a₃=a₁+2d，
∵等差数列{a_n}前三项的和为-3，前三项的积为8，
∴，
解得，或，
所以由等差数列通项公式，得
a_n=2-3（n-1）=-3n+5，或a_n=-4+3（n-1）=3n-7．
故a_n=-3n+5，或a_n=3n-7．
（Ⅱ）当a_n=-3n+5时，a₂，a₃，a₁分别为-1，-4，2，不成等比数列；
当a_n=3n-7时，a₂，a₃，a₁分别为-1，2，-4，成等比数列，满足条件．
故|a_n|=|3n-7|=，
记数列{|a_n|}的前n项和为S_n．
当n=1时S₁=|a₁|=4；当n=2时，S₂=|a₁|+|a₂|=5；
当n≥3时，
S_n=S₂+|a₃|+|a₄|+…+|a_n|
=5+（3×3-7）+（3×4-7）+…+（3n-7）
=5+
=．
当n=2时，满足此式．
综上所述，．
点评：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．易错点是求等差数列通项公式时容易丢解．