Question

已知函数f（x）=

a

x

．
（1）当a=1时，求函数f（x）的值域；
（2）当a＞0时，判断函数f（x）的单调性，并证明．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）的定义域可得值域；
（2）根据函数的单调性定义判断是减函数并用单调性定义证明．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=

1

x

，∵x≠0，∴

1

x

≠0，∴f（x）的值域（-∞，0）∪（0，+∞）
（2）当a＞0时，f（x）=

a

x

，其中x≠0，f（x）在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）的每一个区间上都是减函数，
证明如下：任取x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=

a

x1

-

a

x2

=

a(x2-x1)

x1x2

；
∵a＞0，0＜x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，∴

a(x2-x1)

x1x2

＞0；
∴f（x₁）＞f（x₂），即f（x）在（0，+∞）上是减函数；
同理可证f（x）在（-∞，0）上也是减函数．

点评：本题考查了函数值域的求法，单调性的判定与证明等知识，是基础题．