Question

已知．
（1）求a₂的值；
（2）求展开式中系数最大的项；
（3）求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由（x²+1）（x-1）⁹=（x²+1）（x⁹-x⁸+…+x-）=a+a₁x+a₂x²+…+a₁₁x¹¹可求得a₂；
（2）依题意，求得展开式中的系数值为正数的所有项，即可得到答案；
（3）对=（x²+1）•（x-1）⁹=a+a₁x+a₂x²+…+a₁₁x¹¹两边同时求导，再对x赋值1即可求得答案．
解答：解：（1）∵（x²+1）（x-1）⁹=（x²+1）（x⁹-x⁸+…+x-）=a+a₁x+a₂x²+…+a₁₁x¹¹，
∴a₂=--=-37．                  …（4分）
（2）展开式中的系数中，数值为正数的系数为a₁==9，a₃=+=93，a₅=+=210，a₇=+=162，
a₉=+=37，a₁₁=，故展开式中系数最大的项为210x⁵．                         …（8分）
（3）对=（x²+1）•（x-1）⁹=a+a₁x+a₂x²+…+a₁₁x¹¹两边同时求导得：
（11x²-2x+9）（x-1）⁸=a₁+2a₂x+3a₃x²+…+11a₁₁x¹⁰，
令x=1，得a₁+2a₂+3a₃+4a₄+…+10a₁₀+11a₁₁=0，
所以-
=（a₁+2a₂+3a₃+4a₄+…+10a₁₀+11a₁₁）（a₁-2a₂+3a₃-4a₄+…-10a₁₀+11a₁₁）
=0．…（14分）
点评：本题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，突出等式两边同时求导与赋值的应用，考查运算能力，属于难题．