Question

已知x₁、x₂是函数f(x)=x³+x²-a²x(a＞0)的两个极值点，且| x₁|+|x₂|=2．

(Ⅰ)求a、b关系式，并指出a的取值范围；

(Ⅱ)求实数b的取值范围.

Answer 1

解：(Ⅰ)f′(x)=a²+bx-a²

∵x₁、x₂是函数f(x)=(a＞0)的两个极值点

∴x₁、x₂是方程ax²+bx-a²=0的两根

∴x₁+x₂=，x₁·x₂=-a

∵a＞0，∴x₁·x₂＜0

∴| x₁|+|x₂|=| x₁-x₂|=2,∴(x₁-x₂)²=4 

又∵(x₁-x₂)²=( x₁+x₂)²-4 x₁x₂  ∴()²+4a=4

即b²=4(a²-a³)=4²(1-a)  由b²≥0，得0＜a≤1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知b²=4(a²-a³)，a∈(0，1]

设f(a)=a²-a³，a∈(0，1] f′(a)=a(2-3a)

令f′(a)=0，解得a=或a=0(舍) 

x∈(0，]，f′(a)＞0，x∈(，1]，f′(a)＜0，

∴a=时，y取最大值等于  

a=1时、y取最小值等于0，即y∈[0，]

∴b²∈[0,]，故b∈[]。