Question

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，双曲线x²-y²=1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为    ．

Answer 1

【答案】分析：由题意，双曲线x²-y²=1的渐近线方程为y=±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆上，利用e=，即可求得椭圆方程．
解答：解：由题意，双曲线x²-y²=1的渐近线方程为y=±x
∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，
∴（2，2）在椭圆C：=1（a＞b＞0）上
∴=1
∵e=，∴=，∴a²=4b²
∴a²=20，b²=5
∴椭圆方程为：=1
故答案为：=1．
点评：本题考查双曲线的性质，考查椭圆的标准方程与性质，正确运用双曲线的性质是关键．