Question

设a＞0，函数f(x)=x+

a

x

 ， g(x)=x-lnx，若对任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，则a的取值范围为

[e-2，+∞）

．

Answer 1

分析：求导函数，分别求出函数f（x）的最小值，g（x）的最大值，进而可建立不等关系，即可求出a的取值范围．

解答：解：求导函数，可得g′（x）=1-

1

x

，x∈[1，e]，g′（x）≥0，
∴g（x）_max=g（e）=e-1
f′(x)=1-

a

x2

，令f'（x）=0，
∵a＞0，x=±

a

当0＜a＜1，f（x）在[1，e]上单调增，
∴f（x）_min=f（1）=1+a≥e-1，∴a≥e-2；
当1≤a≤e²，f（x）在[1，

a

]上单调减，f（x）在[

a

，e]上单调增，
∴f（x）_min=f（

a

）=2

a

≥e-1 恒成立；
当a＞e²时 f（x）在[1，e]上单调减，
∴f（x）_min=f（e）=e+

a

e

≥e-1 恒成立
综上a≥e-2
故答案为：[e-2，+∞）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，解题的关键是将对任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，转化为对任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有f（x）_min≥g（x）_max．