Question

（本小题满分12分）

已知函数的图象过点（-1，2），且在点（-1，f(-1)）处的切线与直线x-5y+1=0垂直.

（Ⅰ）求实数b，c的值；

（Ⅱ）求f(x)在［-1，e］（e为自然对数的底数）上的最大值.

Answer 1

解：（Ⅰ）当x＜时，f  ′(x)=-3 x ²+2 x +b，…………………………………………（1分）

由题意得：，………………………………（3分）

解得：b=c=0. ………………………………………………………………………（4分）

(Ⅱ) 因为

当-1≤x＜1时，f ′(x)=- x (3 x -2),

解f ′(x) ＞0得

∴f (x) 在（-1，0）和（，1）上单减，在（0，）上单增，

从而f (x)在x=处取得极大值f ()=

又∵f (-1) =2，f (1) =0，

∴f (x) 在［-1，1）上的最大值为2. ……………………………………………………（8分）

当1≤x ≤e时，f (x)=alnx，

当a≤0时，f (x) ≤0；

当a＞0时，f (x) 在［1，e］单调递增；

∴f (x) 在［1，e］上的最大值为a. ……………………………………………………（10分）

∴a≥2时，f (x) 在［-1，e］上的最大值为a；

当a＜2时，f (x) 在［-1，e］上的最大值为2. ………………………………………（12分）