Question

已知函数f（x）=（2^x-a）²+（2^-x+a）²，x∈[-1，1]．
（1）求f（x）的最小值（用a表示）；
（2）记g（x）=f（x）-2a²，如果函数g（x）有零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先把函数f（x）化简为f（x）=（2^x-2^-x）²-2a（2^x-2^-x）+2a²+2的形式，令t=2^x-2^-x，则f（x）可看作关于t的二次函数，根据x的范围求出t的范围，再利用二次函数求最值的方法求出f（x）的最小值．
（2）关于x的方程f（x）=2a²有解，即方程t²-2at+2=0在[-，]上有解，而t≠0把t与a分离，利用函数的单调性求范围即可．
解答：解：（1）f（x）=（2^x-a）²+（2^-x+a）²=2^2x+2^-2x-2a（2^x-2^-x）+2a²=（2^x-2^-x）²-2a（2^x-2^-x）+2a²+2
令t=2^x-2^-x，则当x∈[-1，1]时，t关于x的函数是单调递增
∴t∈[-，]，此时f（x）=t²-2at+2a²+2=（t-a）²+a²+2
当a＜-时，f（x）_min=f（-）=2a2+3a+
当-≤a≤时，f（x）_min=a²+2
当a＞时，f（x）_min=f（）=2a2-3a+．
（2）函数g（x）有零点，则方程f（x）=2a²有解，即方程t²-2at+2=0在[-，]上有解，而t≠0
∴2a=t+，
令y=t+，则y′=1-，∴函数在（0，）上单调递减，（，）上单调递增
∴t+≥2
∵t+为奇函数，∴当t∈（-，0）时，t+≤-2
∴a的取值范围是（-∞，-]∪[，+∞）．
点评：本题考查二次函数与其它函数的复合函数的最值的求法，考查函数的零点，考查学生的计算能力，属于中档题．