Question

已知a＞0，求函数y=

x2+a+1

x2+a

的最小值．

Answer 1

分析：先整理函数的解析式，当0＜a≤1时利用基本不等式求得函数的最小值；再看a＞1时令t=

x2+a

，然后对f（t）进行求导，判断出函数在[

a

，+∞）上的单调性，进而求得函数的最小值，最后综合答案可得．

解答：解：y=

x2+a

+

1

x2+a

，
当0＜a≤1时，y=

x2+a

+

1

x2+a

≥2，
当且仅当x=±

1-a

时取等号，y_min=2．
当a＞1时，令t=

x2+a

（t≥

a

）．
y=f（t）=t+

1

t

．f'（t）=1-

1

t2

＞0．
∴f（t）在[

a

，+∞）上为增函数．
∴y≥f（

a

）=

a+1

a

，等号当t=

a

即x=0时成立，y_min=

a+1

a

．
综上，0＜a≤1时，y_min=2；
a＞1时，y_min=

a+1

a

．

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生函数思想和分类讨论思想的应用和基本不等的灵活应用．