Question

 已知：四棱锥P-ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠A=90°，且AB∥CD，AB=

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2

CD，点F在线段PC上运动．
（1）当F为PC的中点时，求证：BF∥平面PAD；
（2）设

PF

FC

=λ，求当λ为何值时有BF⊥CD．

Answer 1

分析：（1）取CD中点E，连接EF，先证明平面BEF∥平面PAD，方法是由EF∥平面PAD和BE∥平面PAD，线面平行推出面面平行，再由面面平行的定义可得所证线面平行
（2）由（1）可知BE⊥CD，若BF⊥CD，则定有CD⊥平面BEF，而CD⊥平面PAD，故有平面BEF∥平面PAD，从而由面面垂直的性质定理可推知EF∥PD，从而断定F为PC中点，即λ=1

解答：解：（1）取CD中点E，连接EF．∵是PC中点，∴EF∥PD．
∵EF?平面PAD，PD⊆平面PAD，∴EF∥平面PAD．
∵AB=

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2

CD，AB∥CD，∴DE∥AB且DE=AB，∴BE∥AD．
∵BE?平面PAD，AD⊆平面PAD，∴BE∥平面PAD．
∵EF⊆平面BEF，BE⊆平面BEF，EF∩BE=E，∴平面BEF∥平面PAD．
而BF⊆平面BEF，∴BF∥平面PAD．
（2）当λ=1，即F为PC中点时有BF⊥CD．
∵PA⊥平面ABCD，CD⊆平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵∠A=90°，AB∥CD，∴CD⊥AD．
∵PA⊆平面PAD，AD⊆平面PAD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD．由 （1）知平面PAD∥平面BEF，
∴CD⊥平面BEF．
∵BF⊆平面BEF，∴CD⊥BF．

点评：本题考察了线面平行的证明方法，及空间垂直关系的证明与应用，解题时要熟练的在线线、线面、面面关系中互相转换．