如图.在直角梯形ABCD中.AD∥BC.DA⊥AB.AD=3.AB=4.BC=3.点E在线段AB的延长线上．若曲线段DE为某曲线L上的一部分.且曲线L上任一点到A.B两点的距离之和都相等．(1)建立恰当的直角坐标系.求曲线L的方程,(2)根据曲线L的方程写出曲线段DE的方程,(3)若点M为曲线段DE上的任一点.试求|MC|+|MA|的最小值.并求出取得最小值时� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DA⊥AB，AD=3，AB=4，BC=

，点E在线段AB的延长线上．若曲线段DE（含两端点）为某曲线L上的一部分，且曲线L上任一点到A、B两点的距离之和都相等．
（1）建立恰当的直角坐标系，求曲线L的方程；
（2）根据曲线L的方程写出曲线段DE（含两端点）的方程；
（3）若点M为曲线段DE（含两端点）上的任一点，试求|MC|+|MA|的最小值，并求出取得最小值时点M的坐标．

分析：（1）由题意，先建立平面直角坐标系，利用曲线的方程这一概念求其动点的轨迹方程；
（2）由题意知x_D＜x＜x_E，y≥0，而x_D=x_A=-2，x_E=4，从而得出所求曲线段DE的方程，利用曲线的方程这一概念求其动点的轨迹方程，要注意求解方程之后要有题意去排杂；
（3）由椭圆的定义及点M为曲线段DE（含两端点）上的任一点可知|MA|+|MB|=2a=8，即|MA|=8-|MB|，则|MC|+|MA|=8+|MC|-|MB|≥8-|BC|=8-2

即可求得|MC|+|MA|有最小值．

解答：解（1）如图，以AB所在的直线为x轴，其垂直平分线为y轴，建立所示的直角坐标系，
则A(-2，0)，B(2，0)，C(2，

)，D(-2，3)，|DA|=3，|DB|=5．
设动点M（x，y）为曲线L上的任一点，
则|MA|+|MB|=|DA|+|DB|=8，

即

(x+2)2+y2

(x-2)2+y2

=8
整理得

=1，为所求曲线L的方程
（2）由题意知x_D＜x＜x_E，y≥0，
而x_D=x_A=-2，x_E=4
则所求曲线段DE的方程为

=1(-2≤x≤4，y≥0)
（3）由椭圆的定义及点M为曲线段DE（含两端点）上的任一点可知|MA|+|MB|=2a=8，即|MA|=8-|MB|，
则|MC|+|MA|=8+|MC|-|MB|≥8-|BC|=8-2

，
当且仅当点M位于线段BC的交点处时等号成立，
由BC⊥AB知此时点M的横坐标为2，则其纵坐标为3，
即当点M的坐标为（2，3）时|MC|+|MA|有最小值8-2

．

点评：重点考查了利用曲线的方程这一概念，先建立平面直角坐标系，然后利用定义法求其动点的轨迹方程，并进行实际问题的排杂．

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